Les direccions i unitats de mesura dels eixos venen determinats únicament pels vectors de la base. D'aquí que es parli indistintament de canvi d'eixos o de canvi de base .

Comencem amb un exemple.

Problema. Es considera les referències i on i . Si P té coordenades en referència R, quines són les seves coordenades en referència S?
Solució gràfica. Si Q i P són les projeccions de P sobre els nous eixos de coordenades, llavors p'1 és la longitud del segment p'2 és la longitud del segment.

Solució algèbrica. Es considera la matriu M que té per columnes les coordenades dels vectors en referència R, i es calcula la seva inversa M-1.
Les coordenades de P en referència S s'obtenen efectuant el producte de M-1 per les coordenades

En general, si i són dues referències al pla i es coneixen les coordenades en referència R del vectors de S, i llavors la matriu s'anomena matriu del canvi de base (o d'eixos) de R a S, i satisfà per a qualsevol punt .

• La matriu M^-1 és la única que satisfà la propietat anterior.
• El procés descrit és del tot general, i serveix també per a referències amb 3 o més vectors (espai, ...)

(segueix exemple anterior)   Tenint en compte que les coordenades de P en referència S són els coeficients p'1, p'2 utilitzats en la combinació lineal Per tant, p'1, p'2 són les solucions del sistema que no són altres que

En general, la combinació lineal a considerar és que matricialment s'escriu com

o, alternativament

Però també es pot plantejar el problema invers:
conegudes les coordenades de P en la referència S, , determinar les coordenades de P en la referència R, .

Observeu (final apartat anterior) que la matriu M resol el problema plantejat.
M és la matriu del canvi de S a R.

¿